已知f（x）=（x-1）2，g（x）=10（x-1），数列{an}满足a1＝2，(an+1−an)g(an)+f(an)＝0，bn＝910(n+2)(an−1)（Ⅰ）证明：数列{an-1}是等比数列；（Ⅱ）当n取何值时，bn取最大值，并求出最大值．

Question

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=10（x-1），数列{a_n}满足a1＝2，(an+1−an)g(an)+f(an)＝0，bn＝(9)/(10)(n+2)(an−1)
（Ⅰ）证明：数列{a_n-1}是等比数列；
（Ⅱ）当n取何值时，b_n取最大值，并求出最大值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：∵（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，f（a_n）=(an−1)2，g（a_n）=10（a_n-1）．
∴（a_n+1-a_n）×10（a_n-1）+(an−1)2＝0，化为（a_n-1）（10a_n+1-9a_n-1）=0．
又a₁=2，可知：对任意的n∈N^*，a_n-1≠0．
∴10a_n+1-9a_n-1=0，化为10（a_n+1-1）=9（a_n-1）．
∴(an+1−1)/(an−1)＝(9)/(10)，
∴数列{a_n-1}是以a₁-1=1为首项，(9)/(10)为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：an−1＝1×((9)/(10))n−1，
∴bn＝(9)/(10)(n+2)×((9)/(10))n−1=(n+2)×((9)/(10))n．
∴(bn+1)/(bn)=((n+3)×((9)/(10))n+1)/((n+2)((9)/(10))n)=(9)/(10)×(1+(1)/(n+2))．
当n=7时，(b8)/(b7)＝(9)/(10)×(10)/(9)＝1，即b₈=b₇；
当n＜7时，(bn+1)/(bn)＞1，b_n+1＞b_n；
当n＞7时，(bn+1)/(bn)＜1，b_n+1＜b_n．
∴当n=7或8时，b₈=b₇=(98)/(107)取得最大值．