函数f(x)=-x²+2|x-a|,当a＞0时,对任意的x∈0,∞）,不等式f(x-1)≥2f(x)恒成立,求a的取值范围

Question

函数f(x)=-x²+2|x-a|,当a＞0时,对任意的x∈【0,∞）,不等式f(x-1)≥2f(x)恒成立,求a的取值范围

Answer 1

当a＞0时,对任意的x∈[0,∞）,不等式f(x-1)≥2f(x)恒成立,
-(x-1)^2+2|x-1-a|>=2[-x^2+2|x-a|],
x^2+2x-1>=4|x-a|-2|x-1-a|,
化为3个不等式组：
1）x>=a+1,x^2+2x-1>=2x-2a+2,
2)a=3-2a,a^2+4a-2>=0,a>=√6-2.
由2),x^2-4x+4>=3-6a,
i)a=√6-2.
对于2),a>=√6-2.
由3),x^2+4x+4>=2a+3,
4>=2a+3,0