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若f（x）与g（x）互素,证明f（x）g（f）与f（x）g（x）互素.
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若f（x）与g（x）互素,证明f（x）g（f）与f（x）g（x）互素.
▼优质解答
答案和解析
题目错了…是证明f+g与fg互素吧?
因为f、g互素,所以（f,g）=1,从而存在u（x）、v（x）,使得uf+vg=1
所以（u-v）f+v（f+g）=1
u（f+g）+（v-u）g=1
从而（f,f+g）=（g,f+g）=1
且（u-v）f=1-v（f+g）…（1）
（v-u）g=1-u（f+g）…（2）
（1）乘（2）,得
-（v-u）^2fg=1-v（f+g）-u（f+g）+uv（f+g）^2
从而（v+u-uv（f+g））（f+g）-（v-u）^2（fg）=1
所以（fg,f+g）=1
因为f、g互素,所以（f,g）=1,从而存在u（x）、v（x）,使得uf+vg=1
所以（u-v）f+v（f+g）=1
u（f+g）+（v-u）g=1
从而（f,f+g）=（g,f+g）=1
且（u-v）f=1-v（f+g）…（1）
（v-u）g=1-u（f+g）…（2）
（1）乘（2）,得
-（v-u）^2fg=1-v（f+g）-u（f+g）+uv（f+g）^2
从而（v+u-uv（f+g））（f+g）-（v-u）^2（fg）=1
所以（fg,f+g）=1
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