对于函数f（x）与g（x），若存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）与g（x）在区间[m，n]上的值域相等，则称f（x）与g（x）为等值函数，若f（x）=ax（a＞1）与g（x）=logax为等值函数，则a的取值

Question

对于函数f（x）与g（x），若存在区间[m，n]（m＜n），使得f（x）与g（x）在区间[m，n]上的值域相等，则称f（x）与g（x）为等值函数，若f（x）=a^x（a＞1）与g（x）=log_ax为等值函数，则a的取值范围为（　　）

A．（1，√(e)）
B．（√(e)，e）
C．（1，e(1)/(e)）
D．（e(1)/(e)，e）

Answer 1

根据题意要使f（x）=a^x（a＞1）与g（x）=log_ax为等值函数，
则函数f（x）与g（x）单调递增，
则

f(m)＝g(m)

f(n)＝g(n)

，即m，n是方程a^x=log_ax的两个不同的根，
则等价为f（x）与m（x）=x，有两个交点即可，
f′（x）=a^xlna，m′（x）=1，
令f′（t）=m′（t）=1，即a^tlna=1，
at＝(1)/(lna)＝logae，则t=log_a（log_ae），
由要使f（x）与m（x）=x，有两个交点，
则m（t）＞a^t，
即t＞a^t，
∴log_a（log_ae）＞log_ae，
即log_ae＞e，
∴(1)/(lna)＞e，lna＜(1)/(e)，
解得a＜e(1)/(e)，
综上1＜a＜e(1)/(e)，
故a的取值范围为（1，e(1)/(e)），
故选：C．