（2013•普陀区一模）设函数f（x）和g（x）都是定义在集合M上的函数，对于任意的x∈M，都有f（g（x））=g（f（x））成立，称函数f（x）与g（x）在M上互为“H函数”．（1）函数f（x）=2x与g（

Question

（2013•普陀区一模）设函数f（x）和g（x）都是定义在集合M上的函数，对于任意的x∈M，都有f（g（x））=g（f（x））成立，称函数f（x）与g（x）在M上互为“H函数”．
（1）函数f（x）=2x与g（x）=sinx在M上互为“H函数”，求集合M；
（2）若函数f（x）=a^x（a＞0且a≠1）与g（x）=x+1在集合M上互为“H函数”，求证：a＞1；
（3）函数f（x）=x+2与g（x）在集合M={x|x＞-1}且x≠2k-3，k∈N^*}上互为“H函数”，当0≤x＜1时，g（x）=log₂（x+1），且g（x）在（-1，1）上是偶函数，求函数g（x）在集合M上的解析式．

Answer 1

（1）由f（g（x）=g（f（x）），得2sinx=sin2x，
化简得，2sinx（1-cosx）=0，sinx=0或cosx=1，…（2分）
解得x=kπ或x=2kπ，k∈Z，
即集合M={x|x=kπ}k∈Z．…（2分）
（若学生写出的答案是集合M={x|x=kπ，k∈Z}的非空子集，扣（1分），以示区别．）
（2）证明：由题意得，a^x+1=a^x+1（a＞0且a≠1）…（2分）
变形得，a^x（a-1）=1，由于a＞0且a≠1，ax＝(1)/(a−1)，…（2分）
因为a^x＞0，所以(1)/(a−1)＞0，即a＞1．…（2分）
（3）当-1＜x＜0，则0＜-x＜1，由于函数g（x）在（-1，1）上是偶函数
则g（x）=g（-x）=log₂（1-x）
所以当-1＜x＜1时，g（x）=log₂（1+|x|）…（2分）
由于f（x）=x+2与函数g（x）在集合M上“互为H函数”
所以当x∈M，f（g（x）=g（f（x））恒成立，
g（x）+2=g（x+2）对于任意的x∈（2n-1，2n+1）（n∈N）恒成立，
即g（x+2）-g（x）=2…（2分）
所以g[x+2（n-1）+2]-g[x+2（n-1）]=2，
即g（x+2n）-g[x+2（n-1）]=2
所以g（x+2n）=g（x）+2n，
当x∈（2n-1，2n+1）（n∈N）时，x-2n∈（-1，1）g（x-2n）=log₂（1+|x-2n|）…（2分）
所以当x∈M时，g（x）=g[（x-2n）+2n]=g（x-2n）+2n=log₂（1+|x-2n|）+2n．…（2分）