设f（x）与g（x）互素当且仅当f（xn）与g（xn）互素（其中n为正整数）．

Question

设f（x）与g（x）互素当且仅当f（xⁿ）与g（xⁿ）互素（其中n为正整数）．

Answer 1

“⇒”：如果f（x）与g（x）互素，则f（xⁿ）与g（xⁿ）互素．
假设h（x）为f（xⁿ）与g（xⁿ）的公因式，
则（f（xⁿ），g（xⁿ））=h（x）．
令t=xⁿ，则（f（t），g（t））=h(

n

t

)，
即h(

n

t

)为f（x）与g（x）的公因式．
因为f（x）与g（x）互素，
故h(

n

t

)=1，从而h（x）=1．
从而，f（xⁿ）与g（xⁿ）的公因式只能为1，
故f（xⁿ）与g（xⁿ）互素．
“⇐”如果f（xⁿ）与g（xⁿ）互素，则f（x）与g（x）互素．
假设h（x）为f（x）与g（x）的公因式，
则h（xⁿ）为f（xⁿ）与g（xⁿ）的公因式．
因为f（xⁿ）与g（xⁿ）互素，
故h（xⁿ）=1，从而h（x）=1．
因此，f（x）与g（x）的公因式只能为1，
即：f（x）与g（x）互素．