函数f与g均为[0,1]上的连续函数且复合可交换,求证f,g有相同的不定点fg在[0，1]上的值域为[0，1]不定点改为不动点

Question

函数f与g均为[0,1]上的连续函数且复合可交换,求证f,g有相同的不定点
f g在[0，1]上的值域为[0，1] 不定点改为不动点

Answer 1

设fg（x1）＝0,fg（x2）＝1,x显然x1≠x2.不妨设x1＜x2.
如果x1＝0,或者x2＝1,就取它为x0.fg（x0）＝x0
下面x1＞0且x2＜1.fg（x）-x在[x1,x2]连续,两端异号,存在x0∈（x1,x2）,fg（x0）＝x0
fg（x0）＝gf（x0）＝x0.设f（x0）＝x3.g（x3）＝x0,fg（x3）＝x3,f（x0）是fg的不动点.
ff（x0）,.ffff.f（x0）都是fg的不动点.它们的聚点是f的不动点.从而也是g的不动点.