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证明r(Am*n)=r充要条件是存在两个矩阵Pm*r,Qr*n满足A=PQ,其中r(Pm*r)=r(Qr*n)=r,望老师解答,,
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证明r(Am*n)=r充要条件是存在两个矩阵Pm*r,Qr*n满足A=PQ,其中r(Pm*r)=r(Qr*n)=r,望老师解答,,
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答案和解析
r(Am*n)=r的充要条件之一是A可以经初等变换变为
Er 0
0 0
该式子记为B
也就有存在可逆矩阵P1、Q1,有P1^(-1)AQ1^(-1)=B
Er 0
记为Q2
Er
0
记为P2
显然有P2Q2=B
将上述条件带入
A=P1P2Q2Q1
记P=P1P2,Q=Q2Q1
满足题设
Er 0
0 0
该式子记为B
也就有存在可逆矩阵P1、Q1,有P1^(-1)AQ1^(-1)=B
Er 0
记为Q2
Er
0
记为P2
显然有P2Q2=B
将上述条件带入
A=P1P2Q2Q1
记P=P1P2,Q=Q2Q1
满足题设
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