如图，在棱台ABC-FED中，△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，BC⊥CD，CD=1，N为AB中点，AM=λAF(λ∈R，λ>0)．（Ⅰ）设ND中点为Q，λ=12，求证：MQ

Question

如图，在棱台ABC-FED中，△DEF与△ABC分别是棱长为1与2的正三角形，平面ABC⊥平面BCDE，四边形BCDE为直角梯形，BC⊥CD，CD=1，N为AB中点，

AM

=λ

AF

(λ∈R，λ>0)．

（Ⅰ）设ND中点为Q，λ=(1)/(2)，求证：MQ∥平面ABC；
（Ⅱ）若M到平面BCD的距离为(3√(3))/(4)，求直线MC与平面BCD所成角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：延长三棱台的三条侧棱，设交点为S，当λ=(1)/(2)时M为FA的中点，
设CD中点为R，连MR，MQ，RQ，
在梯形ACDF中，中位线MR∥AC，又MR⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，
∴MR∥平面ABC；
在△CDN中，中位线QR∥CN，又QR⊄平面ABC，CN⊂平面ABC，
∴QR∥平面ABC，
又MR∩QR=R且MR⊂平面MQR，QR⊂平面MQR，
∴平面MQR∥平面ABC，
又MQ⊂平面MQR
∴MQ∥平面ABC；
（Ⅱ） 设AB中点为H，连SH，AH，在△SAH中，作MO∥AH且交SH于点O，
∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，
AH⊂平面ABC，AH⊥BC，∴AH⊥平面SBC，
又MO∥AH，∴MO⊥平面SBC（D），
∴MO为M到平面SBC的距离，MO=(3√(3))/(4)．
且∠MCO为直线MC与平面BCD所成角．
∵平面ABC⊥平面BCDE，平面ABC∩平面BCDE=BC，
CD⊂平面BCDE，CD⊥BC，∴CD⊥平面ABC，
又AC⊂平面ABC，∴CD⊥AC，
在Rt△SAC中，DF∥AC，DF=1，AC=2，CD=1，
由(MO)/(AH)=((3√(3))/(4))/(√(3))=(3)/(4)，得(SM)/(SA)=(3)/(4)，即M为FA的中点．
∴CF⊥SA，又CF=√(2)，FM=(√(2))/(2)，∴CM=(√(10))/(2)．
在Rt△MCO中，sin∠MCO=(MO)/(MC)=(3√(30))/(20)．
故直线MC与平面BCD所成角的正弦值为

3

作业帮用户 2017-11-12

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