（2014•崇明县二模）已知⊙O的半径为3，⊙P与⊙O相切于点A，经过点A的直线与⊙O、⊙P分别交于点B、C，cos∠BAO=13，设⊙P的半径为x，线段OC的长为y．（1）求AB的长；（2）如图，当⊙P与⊙O外

Question

（2014•崇明县二模）已知⊙O的半径为3，⊙P与⊙O相切于点A，经过点A的直线与⊙O、⊙P分别交于点B、C，cos∠BAO=(1)/(3)，设⊙P的半径为x，线段OC的长为y．
（1）求AB的长；
（2）如图，当⊙P与⊙O外切时，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当∠OCA=∠OPC时，求⊙P的半径．

Answer 1

（1）在⊙O中，作OD⊥AB，垂足为D，
在Rt△OAD中，cos∠BAO=(AD)/(OA)=(1)/(3)，
∴AD=(1)/(3)AO=1，
∴BD=AD=1，
∴AB=2AD=2．

（2）连接OB、PA、PC，
∵⊙P与⊙O相切于点A，
∴点P、A、O在一直线上．
∵PC=PA，OA=OB，
∴∠PCA=∠PAC=∠OAB=∠OBA，
∴PC∥OB．
∴(AC)/(AB)=(PA)/(AO)，
∴AC=(PA•AB)/(AC)=(2x)/(3)，
∵OD²=OA²-AD²=3²-1²=8，CD=AD+AC=(2)/(3)x+1，
∴OC=√(OD2+CD2)=√(((2)/(3)x+1)2+8)，
∴y=(1)/(3)√(4x2+12x+81)，（定义域为x＞0）．

（3）当⊙P与⊙O外切时，
∵∠BOA=∠OCA，∠CAO=∠POC，
∴△OAC∽△OCP．
∴(OA)/(OC)=(OC)/(OP)，
∴OC²=OA•OP，
∴(1)/(9)（4x²+12x+81）=3（3+x），
∴x₁=0（不符合题意，舍去），x₂=(15)/(4)，
∴这时⊙P的半径为(15)/(4)，
当⊙P与⊙O内切时，
∴

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