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(2014•崇明县二模)已知⊙O的半径为3,⊙P与⊙O相切于点A,经过点A的直线与⊙O、⊙P分别交于点B、C,cos∠BAO=13,设⊙P的半径为x,线段OC的长为y.(1)求AB的长;(2)如图,当⊙P与⊙O外
题目详情
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(1)求AB的长;
(2)如图,当⊙P与⊙O外切时,求y与x之间的函数解析式,并写出函数的定义域;
(3)当∠OCA=∠OPC时,求⊙P的半径.
▼优质解答
答案和解析
(1)在⊙O中,作OD⊥AB,垂足为D,
在Rt△OAD中,cos∠BAO=
=
,
∴AD=
AO=1,
∴BD=AD=1,
∴AB=2AD=2.
(2)连接OB、PA、PC,
∵⊙P与⊙O相切于点A,
∴点P、A、O在一直线上.
∵PC=PA,OA=OB,
∴∠PCA=∠PAC=∠OAB=∠OBA,
∴PC∥OB.
∴
=
,
∴AC=
=
,
∵OD2=OA2-AD2=32-12=8,CD=AD+AC=
x+1,
∴OC=
=
,
∴y=
,(定义域为x>0).
(3)当⊙P与⊙O外切时,
∵∠BOA=∠OCA,∠CAO=∠POC,
∴△OAC∽△OCP.
∴
=
,
∴OC2=OA•OP,
∴
(4x2+12x+81)=3(3+x),
∴x1=0(不符合题意,舍去),x2=
,
∴这时⊙P的半径为
,
当⊙P与⊙O内切时,
∴
![](https://www.zaojiaoba.cn/2018-08/28/1535432597-1381.jpg)
在Rt△OAD中,cos∠BAO=
AD |
OA |
1 |
3 |
∴AD=
1 |
3 |
∴BD=AD=1,
∴AB=2AD=2.
(2)连接OB、PA、PC,
∵⊙P与⊙O相切于点A,
∴点P、A、O在一直线上.
∵PC=PA,OA=OB,
∴∠PCA=∠PAC=∠OAB=∠OBA,
∴PC∥OB.
∴
AC |
AB |
PA |
AO |
∴AC=
PA•AB |
AC |
2x |
3 |
∵OD2=OA2-AD2=32-12=8,CD=AD+AC=
2 |
3 |
∴OC=
OD2+CD2 |
(
|
∴y=
1 |
3 |
4x2+12x+81 |
(3)当⊙P与⊙O外切时,
∵∠BOA=∠OCA,∠CAO=∠POC,
∴△OAC∽△OCP.
∴
OA |
OC |
OC |
OP |
∴OC2=OA•OP,
∴
1 |
9 |
∴x1=0(不符合题意,舍去),x2=
15 |
4 |
∴这时⊙P的半径为
15 |
4 |
当⊙P与⊙O内切时,
∴
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