1.已知曲线C:x^2+ycosx-y^2=0a.求dy/dxb.P(π/2,-π/2)为曲线C上的一点.求曲线於p的切线方程2.考虑曲线y=2x/(x^2+1)a.求曲线在点（1,1）的法线方程b.求曲线在原点的切线方程c.求曲线的转向点

Question

1.已知曲线C:x^2+ycosx-y^2=0
a.求dy/dx
b.P(π/2,-π/2)为曲线C上的一点.求曲线於p的切线方程
2.考虑曲线y=2x/(x^2+1)
a.求曲线在点（1,1）的法线方程
b.求曲线在原点的切线方程
c.求曲线的转向点

Answer 1

1.已知曲线C:x^2+ycosx-y^2=0
a.求dy/dx
b.P(π/2,-π/2)为曲线C上的一点.求曲线於p的切线方程
2.考虑曲线y=2x/(x^2+1)
a.求曲线在点（1,1）的法线方程
b.求曲线在原点的切线方程
c.求曲线的转向点
1.C:x^2+ycosx-y^2=0
两侧同时对x求导 有：2x+y'cosx+y(-sinx)-2yy'=0
亦即y'=dy/dx=(ysinx-2x)/(cosx-2y)
曲线C关于点P(x0,y0)的切线方程为
y-y0=y'|(x0,y0) (x-x0)
显然y'|(x0,y0)=y'|(π/2,-π/2)=-3/2
带入整理有 曲线於p的切线方程为：6x+4y-π=0
2.a.曲线C关于点P(x0,y0)的法线方程为
y-y0=(-1/y'|(x0,y0)) *(x-x0)
y'=(2-2x^2)/(x^2+1)^2
则在点(1,1)处有(-1/y'|(x0,y0))=0
带入整理有 曲线在点（1,1）的法线方程为：y-1=0
b.曲线在原点处的斜率为
y'|(x0,y0)=(2-2x^2)/(x^2+1)^2|(x0,y0)=2
曲线C关于点P(x0,y0)的切线方程为
y-y0=y'|(x0,y0) (x-x0)
带入整理有 曲线在原点(0,0)的切线方程为：2x-y=0
c.曲线的转向点即为曲线的拐点
y''=4x(x^2-3)/(x^2+1)^3
显然 曲线在x=-√3处由凹向下变为凹向上
在x=0处由凹向上变为凹向下
在x=√3处由凹向下变为凹向上
即x=±√3 ,0为曲线的转折点