如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交BC于G．（1）求证：BG=DE；（2）若点G为CD的中点，求HGGF的值．

Question

如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连结DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于H，交BC于G．

（1）求证：BG=DE；
（2）若点G为CD的中点，求(HG)/(GF)的值．

Answer 1

（1）∵BF⊥DE，
∴∠GFD=90°，
∵∠BCG=90°，∠BGC=∠DGF，
∴∠CBG=∠CDE，
在△BCG与△DCE中，

∠CBG=∠CDE

BC=CD

∠BCG=∠DCE

∴△BCG≌△DCE（ASA），
∴BG=DE，

（2）设CG=1，
∵G为CD的中点，
∴GD=CG=1，
由（1）可知：△BCG≌△DCE（ASA），
∴CG=CE=1，
∴由勾股定理可知：DE=BG=√(5)，
∵sin∠CDE=(CE)/(DE)=(GF)/(GD)，
∴GF=(√(5))/(5)，
∵AB∥CG，
∴△ABH∽△CGH，
∴(AB)/(CG)=(BH)/(GH)=(2)/(1)，
∴BH=(2)/(3)√(5)，GH=(1)/(3)√(5)，
∴(HG)/(GF)=(5)/(3)