已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE=FC1=1,求证:E,B,F,D1四点共面（1）求证:E,B,F,D1四点共面（2）若点G在BC上,BG＝2／3,点M在BB1上,GM垂直BF,垂足为H,求证：EM垂直面BCC1B1（3）

Question

已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为3的正方体,点E在AA1上,点F在CC1上,且AE=FC1=1,求证:E,B,F,D1四点共面
（1）求证:E,B,F,D1四点共面
（2）若点G在BC上,BG＝2／3,点M在BB1上,GM垂直BF,垂足为H,求证：EM垂直面BCC1B1
（3）用a表示截面EBFD1和面BCC1B1所成锐二面角的大小,求tana

Answer 1

(1)证明：用几何法
在BB1上取点W,令WB1=1
则WF∥B1C1∥A1D1
又∵WF=B1C1=A1D1
∴A1D1FW是平行四边形
∴D1F∥A1W
又∵EA1∥且=BW=2
∴EA1WB是平行四边形
∴EB∥A1W
∴EB∥D1F
∴:E,B,F,D1共面
（2）证明：用坐标法,部分计算省略
以D1为坐标原点D1A1为x轴,D1C1为y轴,D1D为z轴建立空间直角坐标系
G(7/3,3,3),设M(3,3,z)
则向量GM=(2/3,0,z-3)
显然向量FB=(3,0,2)
因为GM⊥FB
可以求得z=2
∴M(3,3,2)
而E(3,0,2)
∴向量EM=(0,3,0)
∴显然EM∥AB
又∵AB⊥BCC1B1
∴EM⊥BCC1B1
（3）
由（2）可知∠EHM即为要求二面角的平面角
所以只需求出MH即可
显然△MHB∽△BCF
所以cos∠BMH=cos∠FBC=3/根号13
又∵BM=1
∴MH=3/根号13
∴tan a=EM/MH=根号13