已知：AB垂直于BD,CD垂直于BD,垂足分别为B和D,AD和BC相交于点E,EF垂直于BD,垂足为F,我们可以证明1/AB+1/CD=1/EF成立（不要求证明）若将上题的垂直改为斜交,AB平行于CDAD和BC相交于点E,过点E作,EF平

Question

已知：AB垂直于BD,CD垂直于BD,垂足分别为B和D,AD和
BC相交于点E,EF垂直于BD,垂足为F,我们可以证明1/AB+1/CD=1/EF成立（不要求证明）
若将上题的垂直改为斜交,AB平行于CDAD和
BC相交于点E,过点E作,EF平行于AB,交BD于F,则：
（1）1/AB+1/CD=1/EF还成立吗?若成立请给出证明,若不成立请说明理由；
（2) 请找出三角形ABD,三角形BDE和三角形BDC见面积的关系式,并给出证明.

Answer 1

∵AB,CD,EF分别垂直BD
∴AB‖EF‖CD
∴EF/AB=DF/BD EF/CD=BF/BD
∵DF/BD+BF/BD=1
∴EF/AB+EF/CD=1
∴1/AB+A/CD=1/EF
垂直改为斜交也成立 只要满足AB‖EF‖CD
分别过A E C做BD的垂线 交BD于A' E' C'
根据最上面的证明可得：1/AA'+1/CC'=1/EE'
∴EE'/AA'+EE'/CC'=1
∵S△ABD=1/2(BD*AA'),S△BCD=1/2(BD*EE'),S△EBD=1/2(BD*CC')
∴S△BCD:S△ABD=EE'/AA' S△BCD:S△EBD=EE'/CC'
∴S△BCD:S△ABD+S△BCD:S△EBD=1