三角形ABC中,AD垂直于BC,垂足为点D(D在BC边上),BE垂直于AC,垂足为点E,M为AB边的中点,联结ME、MD、ED.（1）当点E在CA的延长线上,请画出相应的图形,并说明角EMD等于两倍角DAC是否还成立,若成立,请证

Question

三角形ABC中,AD垂直于BC,垂足为点D(D在BC边上),BE垂直于AC,垂足为点E,M为AB边的中点,联结ME、MD、ED.
（1）当点E在CA的延长线上,请画出相应的图形,并说明角EMD等于两倍角DAC是否还成立,若成立,请证明；若不成立,请说明理由
（2）如果三角形MDE为正三角形,BD=4,且AE=1,求三角形MDE的周长

Answer 1

证明：（1）∵M为AB边的中点,AD⊥BC,BE⊥AC,
∴ MD=ME=MA=MB(斜边上的中线=斜边的一半）
∴△MED为等腰三角形
（2）∵ME=MA ∴∠MAE=∠MEA
∴∠BME=2∠MAE
∵MD=MA ∴∠MAD=∠MDA,
∴∠BMD=2∠MAD,
∵∠EMD=∠BME－∠BMD=2∠MAE－2∠MAD=2∠DAC