如图，直线y=2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，D是射线AB上的动点（不与点A重合），DN⊥x轴于N，把△AND沿直线AB翻折，得到△AMD，延长MA交y轴于点C，过A、C、D三点的圆E与x轴交于点F，连结DF

Question

如图，直线y=2x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，D是射线AB上的动点（不与点A重合），DN⊥x轴于N，把△AND沿直线AB翻折，得到△AMD，延长MA交y轴于点C，过A、C、D三点的圆E与x轴交于点F，连结DF．

（1）直接写出tan∠BAO的值为___；
（2）求证：MC=NF；
（3）求线段OC的长；
（4）是否存在点D，使DF∥AC？若存在，求点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）在y=2x+3中，令y=0，得x=-(3)/(2)，令x=0，得y=3，
∴A（-(3)/(2)，0），B（0，3），
∴OA=(3)/(2)，OB=3，
∴tan∠BAO=(OB)/(OA)=2；
故答案为：2；
（2）连接DC，则∠MCD=∠NFD，
在△MCD与△DNF中，

∠MCD=∠NFD

∠DMC=∠DNF

DM=DN

，
∴△MCD≌△NFD，
∴MC=NF；
（3）作CG⊥y轴于G，
∵CG∥x轴，
∴∠AGC=∠DAF，
∵∠GAC=∠MAD=∠DAF，
∴∠AGC=∠GAC，
∴GC=AC，
设GC=a，
∵tan∠BAO=tan∠BGC=2，
∴BC=2a，
∴OC=2a-3，
∵AO²+OC²=AC²，
∴1.5²+（2a-3）²=a²，
解得：a=(5)/(2)，a=(3)/(2)（舍去），
∴线段OC的长是2；
（4）存在，理由：设D（m，2m+3）
当DF∥AC时，∠DFA=∠FAC，
由（3）知，tan∠CAO=(OC)/(OA)=(4)/(3)，
∴tan∠DFA=(4)/(3)，
∵DN=2m+3，
∴NF=(3)/(4)（2m+3），
∵MA=AN=(3)/(2)+m，AC=√(OA2+OC2)=(5)/(2)，
∴NF=MC=AC+AM=(3)/(2)+m+(5)/(2)=4+m=(3)/(4)（2m+3），
解得：m=(7)/(2)，
∴存在点D（(7)/(2)，10）．