如图所示，直线y=x与抛物线y=x2-x-3交于A，B两点，点P是抛物线上的一个动点，点P作PQ⊥x轴交直线y=x于点Q，设点P的横坐标为m，则线段PQ的长度随着m的增大而减小时m的取值范围是．

Question

如图所示，直线y=x与抛物线  y=x²-x-3交于A，B两点，点P是抛物线上的一个动点，点P作PQ⊥x轴交直线y=x于点Q，设点P的横坐标为m，则线段PQ的长度随着m的增大而减小时m的取值范围是___．

Answer 1

联立直线和抛物线解析式可得

y=x

y=x2-x-3

，解得

x=-1

y=-1

或

x=3

y=3

，
∴A（-1，-1），B（3，3），
∵点P在抛物线上，点Q在直线y=x上，且点P的横坐标为m，
∴P（m，m²-m-3），Q（m，m），
当m<-1或m>3时，可知点P在点Q上方，
∴PQ=m²-m-3-m=m²-2m+4=（m-1）²-4，
∴当m<1时PQ的长度随m的增大而减小；
当-1<m<3时，可知点Q在点P上方，
∴PQ=m-（m²-m-3）=-m²+2m+3=-（m-1）²+4，
此时抛物线开口向下，对称轴为m=1，
∴当1<m<3时，PQ随m的增大而减小，
综上可知m的取值范围为：m<-1或1<m<3，
故答案为：m<-1或1<m<3．