设y=y(x)在点(0,1)处与抛物线y=x^2-x+1相切,并满足方程y''-3y'+2y=2e^x,求y(x)

Question

设y=y(x)在点(0,1)处与抛物线y=x^2-x+1相切,并满足方程y''-3y'+2y=2e^x,求y(x)

Answer 1

满足方程 y''-3y'+2y=2e^x, 特征方程 r^2-3r+2=0, 解得特征值 r=1, 2,
故设特解 y=axe^x, 则 y'=a(x+1)e^x, y''=a(x+2)e^x, 代入微分方程,
得 a=-2,则特解是 y=-2xe^x, 通解是 y=Ae^x+Be^(2x)-2xe^x.
则 y'=Ae^x+2Be^(2x)-2(x+1)e^x.
y=Ae^x+Be^(2x)-2xe^x 在点 (0,1) 处与抛物线 y=x^2-x+1 相切,
则 y(0)=1, y'(0)=(x^2-x+1)'|=-1. 故得
A+B=1, A+2B-2=-1, 联立解得 A=1,B=0,
则 y = (1-2x)e^x..