如图，直线y=x与双曲线y=kx（x＞0）相交于点A，点P在双曲线上，过P做PB∥y轴，交直线y=x于点B，点Q在x轴的正半轴上．（1）如果点A是线段OB中点，∠PAQ=45°①求证：△OAQ∽△BPA；②连接PQ，如

Question

如图，直线y=x与双曲线y=(k)/(x)（x＞0）相交于点A，点P在双曲线上，过P做PB∥y轴，交直线y=x于点B，点Q在x轴的正半轴上．
（1）如果点A是线段OB中点，∠PAQ=45°
①求证：△OAQ∽△BPA；
②连接PQ，如果点A到线段PQ的距离为2，求k的值．
（2）如果点P在双曲线上移动（不与A重合），且保持△OAQ∽△BPA，那么∠PAQ是45°吗？若是，请说明理由；若不是，能确定其大小吗？

Answer 1

（1）①证明：由直线y=x可知∠AOQ=∠1=45°，
∵PB∥y轴，
∴∠ABP=∠1=45°，
∵∠AOQ+∠AQO+∠OAQ=180°，∠OAQ+∠PAQ+∠PAB=180°，∠AOQ=∠PAQ=45°，
∴∠AQO=∠PAB，
∵∠AOQ=∠ABP=45°，
∴△OAQ∽△BPA；

②分别过Q、P点作直线y=x的垂线，交直线与M、N．
∵点A到线段PQ的距离为2，
∴QM=PN=2，
∵∠AOQ=∠ABP=45°，∠OMQ=∠PNB=90°，
∴OQ=PB=2√(2)，
设OA=AB=x，
∵△OAQ∽△BPA，
∴(OA)/(PB)=(OQ)/(AB)，即(x)/(2√(2))=(2√(2))/(x)，
解得x=2√(2)，
∵PA=2√(2)，
∴A（2，2），
代入y=(k)/(x)得2=(k)/(2)，解得k=4，

（2）能确定；
理由：∵∠AOQ=∠ABP=45°，△OAQ∽△BPA，
∴∠OQA=∠BAP，
∵∠AOQ+∠AQO+∠OAQ=180°，∠OAQ+∠PAQ+∠PAB=180°，∠AOQ=45°，
∴∠PAQ=∠AOQ=45°．