在四边形ABCD中,∠ABD=∠BCD=RT∠,AB=AC,AE⊥BC于F,交BD于点E,且BD=15,CD=9,点P从A出发沿射线AE方向运动,过P做PQ⊥AB于Q,连接FQ,设AP为x(x＞0)（1）求证△ABE∽△BCD（2）求线段AF的长（3）是否存在一点p使

Question

在四边形ABCD中,∠ABD=∠BCD=RT∠,AB=AC,AE⊥BC于F,交BD于点E,且BD=15,CD=9,点P从A出发沿射线AE方向运动,过P做PQ⊥AB于Q,连接FQ,设AP为x (x＞0)
（1）求证△ABE∽△BCD
（2）求线段AF的长
（3）是否存在一点p 使△PQF是以PF为腰的等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的x的值 若不存在 请说明理由

Answer 1

（1）∵∠ABD=∠BCD=Rt∠,AF⊥BC
∴AE∥CD
∴∠AEB=∠D
∴△ABE～△BCD
（2）∵BD=15,CD=9
∴CB= √15²−9²=12
∵AB=AC,AF⊥BC
∴BF=FC=6
∵AE∥CD
∴BE=ED=1/2BD=15/2,△ABE∽△BCD
∴ AB/BC＝ BE/CD
∴AB/12＝7.5/9
∴AB=10
在Rt△ABF中,由勾股定理,得
AF= √AB²−BF²=√100−36=8
（3）∵点P从点A出发沿线段AE方向向E点运动
∴P在线段AE上,
当P点在AF上时,使△PQF为等腰三角形,只有PQ=PF．
∵∠AQP=∠AFB∠QAP=∠FAB
∴△QAP～△FAB
∴QP/FB=AP/AB
∴ PQ/6＝x/10
∴PQ= 3/5x
∵PF=8-x
∴ 3/5x=8-x
∴x=5
当P在FE上时,使△PQF为等腰三角形,有：
①PQ=PF
∵PQ=3/5x,FP=x-8
∴ 3/5x=x-8
∴x=20＞AE=12.5（舍去）,
②PQ=FQ
作高线QG,则PG= 1/2PF=1/29(x-8）
∵△PQG～△BAF,
∴PG/BF＝PQ/AB
∴ 1/2(x−8)/6=3/5x/10
∴x= 200/7＞AE=12.5（舍去）
③PF=FQ
∴∠FQP=∠FPQ,
∵∠AQP=90°．
∴∠FAQ+∠FPQ=∠FQA+∠FQP=90°
∴∠FAQ=∠FQA
∴AF=FQ=PF
∴8=x-8,
∴x=16＞AE=12.5（舍去）．
∴当x=5时,△PQF为等腰三角形．