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已知动圆过定点P(2,0),且在y轴上截得弦长为4.(1)求动圆圆心的轨迹Q的方程;(2)已知点E(m,0)为一个定点,过E作斜率分别为k1、k2的两条直线交轨迹Q于点A、B、C、D四点,且M、N
题目详情
已知动圆过定点P(2,0),且在y轴上截得弦长为4.
(1)求动圆圆心的轨迹Q的方程;
(2)已知点E(m,0)为一个定点,过E作斜率分别为k1、k2的两条直线交轨迹Q于点A、B、C、D四点,且M、N分别是线段AB、CD的中点,若k1+k2=1,求证:直线MN过定点.
(1)求动圆圆心的轨迹Q的方程;
(2)已知点E(m,0)为一个定点,过E作斜率分别为k1、k2的两条直线交轨迹Q于点A、B、C、D四点,且M、N分别是线段AB、CD的中点,若k1+k2=1,求证:直线MN过定点.
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答案和解析
(1)设动圆圆心为O1(x,y),
动圆与y轴交于R,S两点,由题意,得|O1P|=|O1S|,
当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥RS交RS于H,则H是RS的中点,
∴|O1S|=
,
又|O1P|=
,
∴
=
,
化简得y2=4x(x≠0).
又当O1在y轴上时,O1与O重合,
点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2=4x,
∴动圆圆心的轨迹Q的方程为y2=4x.
(2)证明:由
,得k1y2−4y−4k1m=0,
y1+y2=
,y1y2=-4m,
AB中点M(
动圆与y轴交于R,S两点,由题意,得|O1P|=|O1S|,
当O1不在y轴上时,过O1作O1H⊥RS交RS于H,则H是RS的中点,
∴|O1S|=
| x2+22 |
又|O1P|=
| (x−2)2+y2 |
∴
| x2+22 |
| (x−2)2+y2 |
化简得y2=4x(x≠0).
又当O1在y轴上时,O1与O重合,
点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2=4x,
∴动圆圆心的轨迹Q的方程为y2=4x.
(2)证明:由
|
y1+y2=
| 4 |
| k1 |
AB中点M(
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