已知动圆过定点P（2，0），且在y轴上截得弦长为4．（1）求动圆圆心的轨迹Q的方程；（2）已知点E（m，0）为一个定点，过E作斜率分别为k1、k2的两条直线交轨迹Q于点A、B、C、D四点，且M、N

Question

已知动圆过定点P（2，0），且在y轴上截得弦长为4．
（1）求动圆圆心的轨迹Q的方程；
（2）已知点E（m，0）为一个定点，过E作斜率分别为k₁、k₂的两条直线交轨迹Q于点A、B、C、D四点，且M、N分别是线段AB、CD的中点，若k₁+k₂=1，求证：直线MN过定点．

Answer 1

（1）设动圆圆心为O₁（x，y），
动圆与y轴交于R，S两点，由题意，得|O₁P|=|O₁S|，
当O₁不在y轴上时，过O₁作O₁H⊥RS交RS于H，则H是RS的中点，
∴|O₁S|=√(x2+22)，
又|O₁P|=√((x−2)2+y2)，
∴√(x2+22)=√((x−2)2+y2)，
化简得y²=4x（x≠0）．
又当O₁在y轴上时，O₁与O重合，
点O₁的坐标为（0，0）也满足方程y²=4x，
∴动圆圆心的轨迹Q的方程为y²=4x．
（2）证明：由

y＝k1(x−m)

y2＝4x

，得k1y2−4y−4k1m＝0，
y1+y2＝(4)/(k1)，y₁y₂=-4m，
AB中点M（