已知椭圆x224+y216＝1，直线l：x12+y8＝1．P是l上点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|•|OP|=|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

Question

已知椭圆(x2)/(24)+(y2)/(16)＝1，直线l：(x)/(12)+(y)/(8)＝1．P是l上点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|•|OP|=|OR|²，当点P在l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

Answer 1

由题设知点Q不在原点．设P、R、Q的坐标分别为（x_P，y_P），（x_R，y_R），（x，y），其中x，y不同时为零．
当点P不在y轴上时，由于点R在椭圆上及点O、Q、R共线，
得方程组

(x2R)/(24)+(y2R)/(16)＝1

(yR)/(xR)＝(y)/(x)

解得

x

2 R

＝(48x2)/(2x2+3y2)

①

y

2 R

＝(48y2)/(2x2+3y2)

②

由于点P在直线l上及点O、Q、P共线，得方程组

作业帮用户 2017-11-10 举报

问题解析

先设三个点P、R、Q的坐标分别为（x_P，y_P），（x_R，y_R），（x，y），利用共线条件得出它们坐标的关系，再依据条件|OQ|•|OP|=|OR|²，将三点的坐标代入，最终得到关于x，y的方程即为所求．

名师点评

本题考点：

轨迹方程；椭圆的简单性质；曲线与方程．

考点点评：

本小题主要考查直线、椭圆的方程和性质，曲线与方程的关系，轨迹的概念和求法，利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综合运用知识的能力．

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