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过点A(0,a)作直线与圆(x-2)2+y2=1顺次相交于B、C两点,在BC上取满足BP:PC=AB:AC的点P.(1)求点P的轨迹方程;(2)证明不论a取何值,轨迹恒过一定点.

题目详情
过点A(0,a)作直线与圆(x-2)2+y2=1顺次相交于B、C两点,在BC上取满足BP:PC=AB:AC的点P.
(1)求点P的轨迹方程;
(2)证明不论a取何值,轨迹恒过一定点.
▼优质解答
答案和解析
设B(x1,x2),C(x2,y2),P(x,y)
因为
BP
PC
=
AB
AC
x1
x2

所以x=
x1+x2
1+λ
=
x1+
x1
x2
x2
1+
x1
x2
=
2x1x2
x1+x2

设AB:y=kx+a,代入圆的方程得:
(1+k2)x2+2(ak-2)x+a2+3=0
所以
x1+x2=
2(2-ak)
1+k2
x1x2=
a2+3
1+ k2
代入①得:x=
a2+3
2-ak

由y=kx+a代入消去k,有2x-ay-3=0
因为
AB
AC
>0,所以点P在已知圆内,
所以所求轨迹方程为2x-ay-3=0(|a|>2
3
).
(2)2x-ay-3=0表示直线,当y=0时,x=
3
2
,与a无关,
故不论a取何值,轨迹恒过一定点(
3
2
,0)
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