过点A（0，a）作直线与圆（x-2）2+y2=1顺次相交于B、C两点，在BC上取满足BP：PC=AB：AC的点P．（1）求点P的轨迹方程；（2）证明不论a取何值，轨迹恒过一定点．

Question

过点A（0，a）作直线与圆（x-2）²+y²=1顺次相交于B、C两点，在BC上取满足BP：PC=AB：AC的点P．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）证明不论a取何值，轨迹恒过一定点．

Answer 1

设B（x₁，x₂），C（x₂，y₂），P（x，y）
因为(BP)/(PC)=(AB)/(AC)= (x1)/(x2)
所以x=(x1+x2)/(1+λ)=(x1+(x1)/(x2)x2)/(1+(x1)/(x2))=(2x1x2)/(x1+x2)①
设AB：y=kx+a，代入圆的方程得：
（1+k²）x²+2（ak-2）x+a²+3=0
所以

x1+x2=(2(2-ak))/(1+k2)

x1x2=(a2+3)/(1+ k2)

代入①得：x=(a2+3)/(2-ak)
由y=kx+a代入消去k，有2x-ay-3=0
因为(AB)/(AC)>0，所以点P在已知圆内，
所以所求轨迹方程为2x-ay-3=0（|a|>2√(3)）．
（2）2x-ay-3=0表示直线，当y=0时，x=(3)/(2)，与a无关，
故不论a取何值，轨迹恒过一定点（(3)/(2)，0）