在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．点P为直线AB上一个动点（点P不与点A，B重合），连接PC，点D在直线BC上，且PD=PC．过点P作PE^PC，点D，E在直线AC的同侧，且PE=PC，连接BE．（1）情况一

Question

在等腰直角三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=90°．点P为直线AB上一个动点（点P不与点A，B重合），连接PC，点D在直线BC上，且PD=PC．过点P作PE^PC，点D，E在直线AC的同侧，且PE=PC，连接BE．
（1）情况一：当点P在线段AB上时，图形如图1 所示；
情况二：如图2，当点P在BA的延长线上，且AP<AB时，请依题意补全图2；．
（2）请从问题（1）的两种情况中，任选一种情况，完成下列问题：
①求证：∠ACP=∠DPB；
②用等式表示线段BC，BP，BE之间的数量关系，并证明．

Answer 1

（1）补全图形如图①所示；
（2）情况一：
①证明：如图②，
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∵PD=PC，
∴∠1=∠D，
∵∠ACB=∠1+∠2=45°，∠ABC=∠D+∠=45°，
∴∠3=∠2，
即∠ACP=∠DPB；
②BC=√(2)BP+BE；理由：
证明：如图③过P作PF⊥PB交BC于F，
∵PF⊥PB，
∴∠BPF=90°，
∵EP⊥PC，
∴∠EPC=90°，
∴∠4+∠5=∠6+∠5，
∴∠4=∠6，
∵∠PBF=45°，
∴∠PBF=∠PFB=45°，
∴PB=PF，
在△PBE与△PFC中，

PB=PF

∠4=∠6

PE=PC

，
∴△PBE≌△PFC，
∴BE=FC，
∵BF=√(2)BP，
∴BC=BF+FC=√(2)BP+BE．
情况二：①如图④，
∵PD=PC，
∴∠PDC=∠PCD，
∵∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠3=∠PDC-45°，∠ACP=∠PCD-45°
，∴∠BPD=∠ACP；
②如图④，过P作PF⊥PB交BC于F，
∵PF⊥PB，
∴∠BPF=90°，
∵EP⊥PC，
∴∠EPC=90°，
∴∠4+∠BPC=∠6+∠BPC=90°，
∴∠4=∠6，
∵∠PBF=45°，
∴∠PBF=∠PFB=45°，
∴PB=PF，
在△PBE与△PFC中，

PB=PF

∠4=∠6

PE=PC

，
∴△PBE≌△PFC，
∴BE=FC，
∵BF=√(2)BP，
∴BC=BF-FC=√(2)BP-BE．