如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点P在AD上且AP=1．将一块三角尺顶点放在点P处，三角尺的两直角边分别交AB、BC于点E、F．（1）当点F与点C重合时，APAE的值为2323；（2）探究：将三角尺从图中

Question

如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点P在AD上且AP=1．将一块三角尺顶点放在点P处，三角尺的两直角边分别交AB、BC于点E、F．
（1）当点F与点C重合时，(AP)/(AE)的值为

(2)/(3)

(2)/(3)

；
（2）探究：将三角尺从图中的位置开始，绕点p顺时针旋转，当点E和点A重合时停止，在这个过程中，设CF=m．试解答：
①用含m的代数式表示四边形BEPF的面积，并写出m的取值范围；
②连结BD，交线段PF于点G，当△PDG是直角三角形时，求m的值．

Answer 1

（1）∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∴∠AED+∠APE=90°，
∵∠EPC=90°，
∴∠APE+∠DPC=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∴Rt△APE∽Rt△DCP，
∴(AP)/(DC)=(AE)/(PD)，
∴(AP)/(AE)=(DC)/(PD)=(2)/(4−1)=(2)/(3)；
故答案为(2)/(3)；
（2）①作FH⊥AD于H，如图1，
与（1）一样可证明Rt△APE∽Rt△HFP，
∴(AP)/(HF)=(AE)/(PH)，即(1)/(2)=(AE)/(4−1−m)，
∴AE=(1)/(2)（3-m），
∴四边形BEPF的面积=S_矩形ABFH-S_△AEP-S_△PHF
=2（4-m）-(1)/(2)×1×(1)/(2)（3-m）-(1)/(2)×2×（3-m）
=-(3)/(4)m+(17)/(4)，
∵当点E和点A重合时，PF⊥BC，
∴此时CF=3，
∴m的取值范围为0≤m≤3；
②当∠PGD=90°时，
∵∠EPF=∠PGD，
∴PE∥BD，
∴△AEP∽△ABD，
∴(AE)/(AB)=(AP)/(AD)，即((1)/(2)(3−m))/(2)=(1)/(4)，
∴m=2；
当∠DPG=90°时，则PF⊥BC，则FC=3，此时m=3，
∴当△PDG是直角三角形时，m的值为2或3．