矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点D的对应点为点D′，直线D′E交AB边于点F，如果DE=x，D′F=y．（1）求y关于x的函数解析式及x的取值范围；（2）当点D的对应点D′

Question

矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，点D的对应点为点D′，直线D′E交AB边于点F，如果DE=x，D′F=y．
（1）求y关于x的函数解析式及x的取值范围；
（2）当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，求此时DE的长．

Answer 1

（1）如图1，过F作FG⊥CD于G，
∴四边形BFGC是矩形，
∴FG=BC=AD=5，∠FGE=∠CGF=90°，
∵把△ADE沿AE折叠得到△AED′，
∴AD′AD=5，∠AD′E=ADE=90°，
∴∠AD′F=90°，
在△AD′F与△EFG中，

∠AFD′=∠FEG

∠AD′F=∠EGF

AD′=FG

，
∴△AD′F≌△EFG，
∴AF=EF=x+y，GE=D′F=y，
∵GE²+FG²=EF²，
即y²+5²=（x+y）²，
∴y=(25-x2)/(2x)，（0<x<7-2√(6)）；

（2）如图2，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P
∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，
∴MD′=PD′，
设MD′=x，则PD′=BM=x，
∴AM=AB-BM=7-x，
又折叠图形可得AD=AD′=5，
∴x²+（7-x）²=25，解得x=3或4，
即MD′=3或4．
在Rt△END′中，设ED′=a，
①当MD′=3时，AM=7-3=4，D′N=5-3=2，EN=4-a，
∴a²=2²+（4-a）²，
解得a=(5)/(2)，即DE=(5)/(2)，
②当MD′=4时，AM=7-4=3，D′N=5-4=1，EN=3-a，
∴a²=1²+（3-a）²，
解得a=(5)/(3)，即DE=(5)/(3)．
综上所述：DE=(5)/(2)或(5)/(3)．