已知:如图,在三角形ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,AB的垂线过点D交AC于点F,AC的垂线过点E交AB于点G.求证：1.D、G、F、E四点共圆.2.B、C、F、G四点共圆

Question

已知:如图,在三角形ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,AB的垂线过点D交AC于点F,AC的垂线过点E交AB于点G.
求证：1.D、G、F、E四点共圆.
2.B、C、F、G四点共圆

Answer 1

1.∵AB⊥DF,AC⊥GE
∴∠GDF=∠GEF=90°
根据“同弦所对圆周角相等”的逆定理,可判定G,D,E,F四点共圆
2.连接BF,CG
∵DF⊥AB,D为AB中点,∴DF为线段AB的中垂线,有AF=BF,易证：∠A=∠GBF
同理,由GE⊥AC,E为AC中点,可证GE为AC的中垂线,易证∠A=∠GCF
∴∠GBF=∠GCF
同样根据“同弦所对圆周角相等”这个定理的逆定理,可判定G,B,C,F四点共圆