设A、B皆为非空有界数集,定义数集A+B={z|z=x+y,x∈A,y∈B}.证明:(1)sup(A+B)=supA+supB;(2)inf(A+B)=infA+infB.

Question

设A、B皆为非空有界数集,定义数集 A+B={z | z=x+y ,x∈A,y∈B}.证明:(1)sup(A+B) = sup A + sup B;(2)inf(A+B) = inf A + inf B.

Answer 1

（1）任取a为A上界,b为B上界,那么对任何x∈A,y∈B;
有x+y=sup(A+B);注意右端是固定的,左端是任意的.
那么a取为上界的最小值（确界存在定理,上界有最小值,为上确界.）.
所以supA+b>=sup(A+B);同样,b取最小值,就有sup A + sup B>=sup(A+B) ;.（*）
反向：任取c为A+B的上界,那么对任意x∈A,y∈B,有c>=x+y;固定y
c-y>=x对任意x∈A都成立,从而是A的上界,故c-y>=supA;
那么c-supA>=y对一切y∈B都成立,所以c-supA>=supB;
所以c>=supA+supB; 右端是固定的,那c取A+B的上界的最小值,
就有sup(A+B) >= sup A + sup B
结合（*）有sup(A+B) = sup A + sup B
（2）定义 -A为{-x|| ,x∈A}.
那么inf(A)=-sup(-A) 自己验证啦,A与-A是关于原点对称的~
还有[-(A+B)=(-A)+(-B),也是比较显然的]
所以inf(A+B)=-sup((-A)+(-B))=-sup(-A)+[-sup(-B)]=infA+infB;