如果x和y是两个n维非零实列向量,怎么证明det（E+X*Y^T）=1+X^T*Y,X^T代表x的转置从特征值和特征向量方面分析？

Question

如果x和y是两个n维非零实列向量,怎么证明det（E+X*Y^T）=1+X^T*Y,X^T代表x的转置
从特征值和特征向量方面分析？

Answer 1

可以直接计算的.
设X^T=(x1,x2,...,xn),Y^T=(y1,y2,...,yn),
An=det（E+X*Y^T）
1+x1y1 x1y2 x1y3 ...x1yn
x2y1 1+x2y2 x2y3 ....x2yn 按第1列分成两个行列式
= x3y1 x3y2 1+x2y3 .x3yn
.
xny1 xny2 xny3 .1+xnyn
1 x1y2 x1y3 .....x1yn x1y1 x1y2 x1y3 ...x1yn
0 1+x2y2 x2y3 ....x2yn x2y1 1+x2y2 x2y3 ....x2yn
= 0 x3y2 1+x2y3 .x3yn + x3y1 x3y2 1+x2y3 .x3yn
..
0 xny2 xny3 .1+xnyn xny1 xny2 xny3 .1+xnyn
对第1个行列式按1列展开后的n-1阶行列式,与原来的的An结构一样,记为A(n-1)
对第2个行列式,第1列提个y1出来后,将第1列乘以-y2,-y3,...,-yn,分别加入第2,3,...n列.得一个三角形行列式,计算其值为x1y1(对角线上的元素为x1,1,1,.,1)
这样：An=A(n-1)+x1y1=A(n-2)+x1y1+x2y2,
一直下去,注意最后一个行列式A1=1+xnyn
于是：An=1+x1y1+x2y2+...+xnyn=1+X^T*Y.
即：det（E+X*Y^T）=1+X^T*Y