f(x)=（e^x-1）/x(当x不=0)f(x)=1(当x=0)此时的f（x）的导函数在x=0处是否连续注意是f（x）导函数

Question

f(x)=（e^x-1）/x (当x不=0) f(x)=1 (当x=0) 此时的f（x）的导函数在x=0处是否连续 注意是f（x）导函数

Answer 1

按照导数的定义
f'(0) = f(t)-f(0) / t = (e^t-1 - t) / t^2 = (e^t-1)/2t = e^t/2 = 1/2
存在
f(x)直接的导函数为f'(x) = [xe^x - (e^x-1)] / x^2
在x=0处的极限为 [xe^x - (e^x-1)] / x^2 = [e^x+xe^x-e^x]/2x = xe^x/2x=e^x/2 = 1/2
所以f(x)的导函数在x=0处是连续的.