在三角形ABC中,设AD为BC边上的高,且AD=BC,b、c分别表示角B、C所对边的长,则b/c+c/b的取值范围是什么?具体一些,根号5怎么来的

Question

在三角形ABC中,设AD为BC边上的高,且AD=BC,b、c分别表示角B、C所对边的长,则b/c+c/b 的取值范围是什么?
具体一些,根号5怎么来的

Answer 1

由面积关系得a²=bcsinA①
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA②
将①代入②得bc（sinA+2cosA)=b²+c²
即b/c+c/b=b²+c²/bc=sinA+2cosA=√5sin（A+α）≤√5
其中tanα=2
因此b/c+c/b的最大值为√5
又可算出sinα=2/√5
所以取值范围：（2,√5]
sinA+2cosA=√5sin（A+α）的原因
是由以下公式来的
Asinα+Bcosα
= √（A+B）[A/√（A+B)* sinα+ B/√（A+B）cosα]
=√（A+B） sin(α+φ)
其中sinφ =B/√（A+B）,cosφ=A/√（A+B)