已知双曲线x^2/a^2一y^2/b^2=1，右顶点为A，B，C在右支上，三角形ABC已知双曲线x^2/a^2一y^2/b^2=1，右顶点为A，B，C在右支上，三角形ABC为等边三角形，求离心率取值范围

Question

已知 双曲线 x^2/a^2 一y^2/b^2=1，右顶点为A，B，C在右支上，三角形ABC
已知 双曲线 x^2/a^2 一y^2/b^2=1，右顶点为A，B，C在右支上，三角形ABC为等边三角形，求离心率取值范围

Answer 1

由题知点A（a，0）
若ΔABC为等边三角形，则BC垂直于x轴
∴AB的倾斜角为30º
设直线AB方程为y=√3/3（x-a），代入双曲线方程，得
（b²-1/3a²）x²+2/3a³x-1/3a⁴-a²b²=0
要使点B存在，则上式有两个解
b²-1/3a²≠0——①
Δ=4/9a⁶+4（b²-1/3a²）（1/3a⁴ +a²b²）＞0——②
（-2/3a³）/[2（b²-1/3a²）＞a——③
联立①②③解得1/3a²＞b²，即2a＞√3c
则离心率e＜2√3/3
∵e＞1
∴e∈（1，2√3/3）