在极坐标系中，过曲线L：ρsin2θ=2acosθ（a＞0）外的一点A(25，π+θ)（其中tanθ=2，θ为锐角）作平行于θ＝π4(ρ∈R)的直线l与曲线分别交于B，C．（Ⅰ）写出曲线L和直线l的普通方程（以极点为

Question

在极坐标系中，过曲线L：ρsin²θ=2acosθ（a＞0）外的一点A(2√(5)，π+θ)（其中tanθ=2，θ为锐角）作平行于θ＝(π)/(4)(ρ∈R)的直线l与曲线分别交于B，C．
（Ⅰ） 写出曲线L和直线l的普通方程（以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建系）；
（Ⅱ）若|AB|，|BC|，|AC|成等比数列，求a的值．

Answer 1

（Ⅰ）根据极坐标的转化可得，曲线l的方程为：ρ(y2)/(ρ2)＝2a(x)/(ρ)即 y²=2ax，A（-2，-4）
直线L的方程为y+4=x+2即y=x-2（3分）
（Ⅱ）直线l的参数方程为

x＝−2+(√(2))/(2)t

y＝−4+(√(2))/(2)t

（t为参数），
代入y²=2ax得到t2−2√(2)(4+a)t+8(4+a)＝0，则有t1+t2＝2√(2)(4+a)，t1•t2＝8(4+a)
因为|BC|²=|AB|×|AC|，所以（t₁-t₂）²=（t₁+t₂）²-4t₁•t₂=t₁•t₂
解得 a=1（7分）