已知圆O的方程为x2+y2=13，直线l：x0x+y0y=13，设点A（x0，y0）．（1）若点A在圆O外，试判断直线l与圆O的位置关系；（2）若点A在圆O上，且x0=2，y0＞0，过点A作直线AM，AN分别交圆O于M，N两点，且

Question

已知圆O的方程为x²+y²=13，直线l：x₀x+y₀y=13，设点A（x₀，y₀）．
（1）若点A在圆O外，试判断直线l与圆O的位置关系；
（2）若点A在圆O上，且x₀=2，y₀＞0，过点A作直线AM，AN分别交圆O于M，N两点，且直线AM和AN的斜率互为相反数．
①若直线AM过点O，求tan∠MAN的值；
②试问：不论直线AM的斜率怎么变化，直线MN的斜率是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．

Answer 1

（1）∵点A在圆O外，∴x₀²+y₀² ＞13，
由于圆心（0，0）到直线l：x₀x+y₀y=13的距离d=(13)/(√(x02+y02))＜√(13)=r，
故直线和圆相交．
（2）∵点A在圆O上，且x₀=2，y₀＞0，可得y₀=3，∴点A（2，3）．
①若直线AM过点O，则AM的斜率为 K_AM=(3)/(2)，∴K_AN=-(3)/(2)，tan∠MAN=|(KAM−KAN)/(1+KAM•KAN)|=|((3)/(2)+(3)/(2))/(1+(3)/(2)(−(3)/(2)))|=(12)/(5)．
②不论直线AM的斜率怎么变化，∵直线AM和AN的斜率互为相反数，
∴直线AM和AN的倾斜角互补，故△AMN为等腰三角形，
直线MN平行于x轴，故MN的斜率是0，为定值．