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设函数f(x)=x^2-alnx与g(x)=(1/a)x-√x的图像分别交直线x=1于点A、B,且曲线y=f(x)在点A处的切线与曲线y=g(x)在点B处的切线平行.1.求函数f(x),g(x)的表达式2.当a>1时,求函数h(x)=f(x)-g(x)的最小值.3.当a=1/2时
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设函数f(x)=x^2-alnx与g(x)=(1/a)x-√x的图像分别交直线x=1于点A、B,且曲线y=f(x)在点A处的切线与曲线y=g(x)在点B处的切线平行.
1.求函数f(x),g(x)的表达式
2.当a>1时,求函数h(x)=f(x)-g(x)的最小值.
3.当a=1/2时,不等式f(x)≥m*g(x)在x∈[1/4,1/2]上恒成立,求实数m的取值范围.
1.求函数f(x),g(x)的表达式
2.当a>1时,求函数h(x)=f(x)-g(x)的最小值.
3.当a=1/2时,不等式f(x)≥m*g(x)在x∈[1/4,1/2]上恒成立,求实数m的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
1、f‘(x)=2x-a/x,g’(x)=1/a-1/(2√x),切线平行f’(x)=g‘(x),则:2-a=1/a-1/2,得:a=1/2或a=2,
f(x)=x^2-(lnx)/2或f(x)=x²-2lnx,g(x)=2x-√x或g(x)=x/2-√x;
2、当2x-a/x>0,x²>a/2时,f(x)=x^2-alnx为增函数,当1/a-1/(2√x)>0,x>a²/4时,g(x)=(1/a)x-√x为增函数,则a/2=(a²/4)²,a=2时,h‘(x)=f’(x)-g‘(x)=0,此时函数h(x)=f(x)-g(x)有最小值=3/2;
3、当a=1/2时,f’(x)=2x-1/2x,函数f(x)=x^2-(lnx)/2在x∈[1/4,1/2]是减函数,f(1/4)=1/16+ln2,f(1/2)=1/4+(ln2)/2;g’(x)=2-1/(2√x),函数g(x)=2x-√x在x∈[1/4,1/2]是增函数,f(1/4)=0,f(1/2)=1-√2/2;m≤[1/4+(ln2)/2]/(1-√2/2)=1/2+√2/4+ln2+ln2*√2/2,实数m的取值范围:(-∞,1/2+√2/4+ln2+ln2*√2/2].
f(x)=x^2-(lnx)/2或f(x)=x²-2lnx,g(x)=2x-√x或g(x)=x/2-√x;
2、当2x-a/x>0,x²>a/2时,f(x)=x^2-alnx为增函数,当1/a-1/(2√x)>0,x>a²/4时,g(x)=(1/a)x-√x为增函数,则a/2=(a²/4)²,a=2时,h‘(x)=f’(x)-g‘(x)=0,此时函数h(x)=f(x)-g(x)有最小值=3/2;
3、当a=1/2时,f’(x)=2x-1/2x,函数f(x)=x^2-(lnx)/2在x∈[1/4,1/2]是减函数,f(1/4)=1/16+ln2,f(1/2)=1/4+(ln2)/2;g’(x)=2-1/(2√x),函数g(x)=2x-√x在x∈[1/4,1/2]是增函数,f(1/4)=0,f(1/2)=1-√2/2;m≤[1/4+(ln2)/2]/(1-√2/2)=1/2+√2/4+ln2+ln2*√2/2,实数m的取值范围:(-∞,1/2+√2/4+ln2+ln2*√2/2].
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