根据极限定义证明：函数f（x）当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并相等．

Question

根据极限定义证明：函数f（x）当x→x₀时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并相等．

Answer 1

证明：（1）若函数f（x）当x→x₀时极限存在，设

lim

x→x0

f(x)=a；
∴x→x₀即：x从左边趋向x₀，和从右边趋向x₀时，f（x）趋向a；
根据左极限、右极限的定义得：

lim

x→x0-

f(x)=

lim

x→x0+

f(x)=a，即f（x）的左右极限都存在并且相等；
∴函数f（x）当x→x₀时极限存在的必要条件是左右极限都存在并且相等；
（2）若f（x）的左极限、右极限各自存在并相等，设

lim

x→x0-

f(x)=

lim

x→x0+

f(x)=a；
∴x从左边趋向x₀和x从右边趋向x₀，即x趋向x₀时，f（x）趋向a；
∴

lim

x→x0

f(x)=a，即函数f（x）当x→x₀时极限存在；
∴函数f（x）当x→x₀时极限存在的充分条件是左右极限存在且相等；
综上可得函数f（x）当x→x₀时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并相等．