是不是有这个结论：1.lim(f(x)g(x))存在,limf(x)存在且不为0,则limg(x)必存在2.lim(f(x)+g(x))存在,则limf(x)存在时,limg(x)必存在；则limf(x)不存在时,limg(x)必不存在

Question

是不是有这个结论：1.lim(f(x)g(x))存在,limf(x)存在且不为0,则limg(x)必存在 2.lim(f(x)+g(x))存在,则limf(x)存在时,limg(x)必存在；则limf(x)不存在时,limg(x)必不存在

Answer 1

两个结论均正确
1、证明：limg(x)=limf(x)g(x)/f(x)=lim[f(x)g(x)]/limf(x),由于分子分母极限均存在,且分母极限不为0,因此这个极限存在.
2、limg(x)=lim[f(x)+g(x)-f(x)]=lim[f(x)+g(x)]-limf(x),由于右边这两个极限均存在,因此左边的极限也存在.
同理：若limg(x)存在,则limf(x)也存在.
注：若某命题成立,则其逆否命题必成立.最后要证的那个结论就是上面这句话的逆否命题,因此也成立.