设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是()A.若limx→0f(x)x存在,则f(0)=0B.若limx→0f(x)+f(−x)x存在,则f(0)=0C.若limx→0f(x)x存在,则f′(0)存在D.若limx→0f(x)−f(−x)x存在
设函数f(x)在x=0处连续,下列命题错误的是( )
A.若存在,则f(0)=0
B.若存在,则f(0)=0
C.若存在,则f′(0)存在
D.若存在,则f′(0)存在
答案和解析
首先,由函数f(x)在x=0处连续,有
f(x)=f(0),
所以,→.
(1)选项A.
若存在,也就是x→0时,的极限存在,
如果f(0)≠0,则=∞,这样一来,的极限也就不存在了,所以f(x)=0,
故选项A正确.
(2)选项B.
根据选项A的分析,同理选项B,由于[f(x)+f(−x)]=2f(0),因而也是成立的,
故选项B正确.
(3)选项C.
由选项A,我们知道f(0)=0,
所以==f′(0),故f′(0)存在,
故选项C正确.
(4)选项D.
我们通过举反例,比如:f(x)=|x|,显然满足题目条件,
但f(x)在x=0处不可导,故选项D错误.
故选:D.
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