若集合A具有以下性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x-y∈A，且x≠0时，1x∈A．则称集合A是“好集”．（Ⅰ）分别判断集合B={-1，0，1}，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由；（Ⅱ）设集

Question

若集合A具有以下性质：①0∈A，1∈A；②若x，y∈A，则x-y∈A，且x≠0时，(1)/(x)∈A．则称集合A是“好集”．
（Ⅰ）分别判断集合B={-1，0，1}，有理数集Q是否是“好集”，并说明理由；
（Ⅱ）设集合A是“好集”，求证：若x-y∈A，则x+y∈A；
（Ⅲ）对任意的一个“好集”A，分别判断下面命题的真假，并说明理由．
命题p：若x，y∈A，则必有xy∈A；
命题q：若x，y∈A，且x≠0，则必有(y)/(x)∈A．

Answer 1

（本小题满分14分）
（Ⅰ）集合B不是“好集”．
理由是：假设集合B是“好集”．
因为-1∈B，1∈B，所以-1-1=-2∈B．这与-2∉B矛盾．…（2分）
有理数集Q是“好集”．因为0∈Q，1∈Q，
对任意的x，y∈Q，有x-y∈Q，且x≠0时，(1)/(x)∈Q．
所以有理数集Q是“好集”．…（4分）
（Ⅱ）因为集合A是“好集”，
所以 0∈A．若x，y∈A，则0-y∈A，即-y∈A．
所以x-（-y）∈A，即x+y∈A．…（7分）
（Ⅲ）命题p，q均为真命题．理由如下：…（9分）
对任意一个“好集”A，任取x，y∈A，
若x，y中有0或1时，显然xy∈A．
下设x，y均不为0，1．由定义可知：x-1，(1)/(x−1)，(1)/(x)∈A．
所以(1)/(x−1)-(1)/(x)∈A，即(1)/(x(x−1))∈A．
所以x（x-1）∈A．
由（Ⅱ）可得：x（x-1）+x∈A，即x²∈A．同理可得y²∈A．
若x+y=0或x+y=1，则显然（x+y）²∈A．
若x-y=0，或x-y=1，则（x-y）²∈A．
所以2xy=（x+y）²-x²-y²∈A．
所以(1)/(2xy)∈A．
由（Ⅱ）可得：(1)/(xy)=(1)/(2xy)+(1)/(2xy)∈A．
所以 xy∈A．
综上可知，xy∈A，即命题p为真命题．
若x，y∈A，且x≠0，则(1)/(x)∈A．
所以(y)/(x)＝y•(1)/(x)∈A，即命题q为真命题．…（14分）