如图，已知AB=AC，∠BAC=∠CDE=90°，DC=DE，点F是BE的中点．求证：FA=FD且FA⊥FD．

Question

如图，已知AB=AC，∠BAC=∠CDE=90°，DC=DE，点F是BE的中点．求证：FA=FD且FA⊥FD．

Answer 1

连接AF，DF，延长AF到G使FG=AF，
∵F是BE的中点，
∴BF=EF，
在△AFB与△EFG中，

AF=FG

∠AFB=∠EFG

BF=EF

，
∴△ABF≌△EFG，
∴AB=EG，∠B=∠FEG，
∵∠BAC=∠CDE=90°，
∴∠B+∠DEF+∠CAD+∠CDA=180°，
∵∠CAD+∠C+∠CDA=180°，
∴∠C=∠B+∠FED=∠FEG+∠FED=∠GED，
在△ACD与△GED中，

AC=GE

∠C=∠GED

CD=ED

，
∴△ACD≌△GED，
∴AD=GD，∠ADC=∠GDE，
∵AF=GF，
∴AF⊥DF，
∵∠GDE+GDC=∠CDE=90°，
∴∠ADC+∠GDC=90°，
即∠ADG=90°，
∴AF=DF．