是不是对于所有n×n的矩阵A,都可以有A^k的幂运算呢,那怎么保证A^(k-1)·A=A·A^(k-1),即乘法可以互换?1、设n阶方阵A满足A^2-A+E=0,证明：A是可逆矩阵并求A逆阵的表达式2、设A为n阶方阵,│E-A│≠0证

Question

是不是对于所有n×n的矩阵A,都可以有A^k的幂运算呢,那怎么保证A^(k-1)·A=A·A^(k-1),即乘法可以互换?
1、设n阶方阵A满足A^2-A+E=0,证明：A是可逆矩阵并求A逆阵的表达式
2、设A为n阶方阵,│E-A│≠0
证明：（E+A）(E-A)*=(E-A)*×(E+A)
（E-A）*表示伴随矩阵

Answer 1

所有n×n的矩阵A,都可以有A^k的幂运算?
是!因为矩阵的乘法满足结合律
1、由A^2－A＋E＝0,A(A-E)+E＝0,所以A(E-A)＝E,由逆矩阵的定义,A可逆,逆矩阵是E-A
2、E＋A＝－（E-A)＋2E,
E－A与(E-A)*可交换：(E-A)(E-A)*＝(E-A)*(E-A)
单位矩阵E与(E-A)*当然可交换
所以,（E+A）(E-A)*=(E-A)* (E+A)