设A,B是N阶对称阵,且AB+E及A都可逆,证明(AB+E)^(-1)A是可逆的对称阵关于对称阵的证明,我把((AB+E)^(-1)A)^(T)计算到A(BA+E)^(-1)卡住了.

Question

设A,B是N阶对称阵,且AB+E及A都可逆,证明(AB+E)^(-1)A是可逆的对称阵
关于对称阵的证明,我把((AB+E)^(-1)A)^(T)计算到A(BA+E)^(-1) 卡住了.

Answer 1

用M'表示M的转置.
先证(AB+E)^(-1)A = (B+A^(-1))^(-1).
由A(B+A^(-1)) = AB+E左乘(AB+E)^(-1),右乘(B+A^(-1))^(-1)即得.
之后就好做了:
((B+A^(-1))^(-1))'
= (B'+(A^(-1))')^(-1)
= (B+(A')^(-1))^(-1) (B = B')
= ((B+A^(-1))^(-1)) (A = A').