如图，△ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，H、I分别是BG、CG的中点．（1）求证：四边形EFHI是平行四边形；（2）①当AD与BC满足条件时，四边形EFHI是矩形；②当AD与BC满足条件时，四边形EFHI

Question

如图，△ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，H、I分别是BG、CG的中点．

（1）求证：四边形EFHI是平行四边形；
（2）①当AD与BC满足条件___时，四边形EFHI是矩形；
②当AD与BC满足条件___时，四边形EFHI是菱形．

Answer 1

（1）证明：∵BE，CF是△ABC的中线，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC且EF=(1)/(2)BC．
∵H、I分别是BG、CG的中点．，
∴HI是△BCG的中位线，
∴HI∥BC且HI=(1)/(2)BC，
∴EF∥HI且EF=HI．
∴四边形EFHI是平行四边形．
（2） ①当AD与BC满足条件 AD⊥BC时，四边形EFHI是矩形；理由如下：
同（1）得：FH是△ABG的中位线，
∴FH∥AG，FH=(1)/(2)AG，
∴FH∥AD，
∵EF∥BC，AD⊥BC，
∴EF⊥FH，
∴∠EFH=90°，
∵四边形EFHI是平行四边形，
∴四边形EFHI是矩形；
故答案为：AD⊥BC；
②当AD与BC满足条件BC=(2)/(3)AD时，四边形EFHI是菱形；理由如下：
∵△ABC的中线AD、BE、CF相交于点G，
∴AG=(2)/(3)AD，
∵BC=(2)/(3)AD，
∴AG=BC，
∵FH=(1)/(2)AG，EF=(1)/(2)BC，
∴FH=EF，
又∵四边形EFHI是平行四边形，
∴四边形EFHI是菱形；
故答案为：BC=(2)/(3)AD．