f(x)=e^(3x)+∫(上x下0)tf(x-t)dt,求f（x）要过程,答案是f=(1/8)e^(-x)-(1/4)e^x+(9/8)e^3x

Question

f(x)=e^(3x)+∫(上x下0)tf(x-t)dt,求f（x）要过程,答案是f=(1/8)e^(-x)-(1/4)e^x+(9/8)e^3x

Answer 1

令u=x-t,则t=x-u
f(x)-e^(3x)=∫(上x下0)tf(x-t)dt=∫(上0下x)(x-u)f(u)d(-u)=∫(上x下0)(x-u)f(u)du=∫(上x下0)[xf(u)-uf(u)]du=x∫(上x下0)f(u)du-∫(上x下0)uf(u)du
f'(x)-3e^(3x)=∫(上x下0)f(u)du+x[∫(上x下0)f(u)du]'-[∫(上x下0)uf(u)du]'=∫(上x下0)f(u)du+xf(x)-xf(x)=x∫(上x下0)f(u)du
f''(x)-9e^(3x)=f(u)|(上x下0)=f(x)-f(0)=f(x)-1
即求y''-y-9e^(3x)+1=0的通解
通解y=（C1）e^x+（C2）e^(-x)+(9/8)e^3x
通解y=（C1）e^x+（C2）e^(-x)+(9/8)e^3x
代入f'(x)-3e^(3x)=x∫(上x下0)f(u)du可以推出C2-C1=3/8
代入f(x)-e^(3x)=x∫(上x下0)f(u)du-∫(上x下0)uf(u)du可以推出C1+C2=-1/8
∴C1=-1/4,C2=1/8
∴f(x)=(-1/4)e^x+(1/8)e^(-x)+(9/8)e^(3x)