（2013•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．（1

Question

（2013•常州）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的⊙O上，连接OC，过O点作OD⊥OC，OD与⊙O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB．
（1）当OC∥AB时，∠BOC的度数为______；
（2）连接AC，BC，当点C在⊙O上运动到什么位置时，△ABC的面积最大？并求出△ABC的面积的最大值．
（3）连接AD，当OC∥AD时，
①求出点C的坐标；②直线BC是否为⊙O的切线？请作出判断，并说明理由．

Answer 1

（1）∵点A（6，0），点B（0，6），
∴OA=OB=6，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠OBA=45°，
∵OC∥AB，
∴当C点在y轴左侧时，∠BOC=∠OBA=45°；
当C点在y轴右侧时，∠BOC=90°+∠OBA=135°；

（2）∵△OAB为等腰直角三角形，
∴AB=√(2)OA=6√(2)，
∴当点C到AB的距离最大时，△ABC的面积最大，
过O点作OE⊥AB于E，OE的反向延长线交⊙O于C，如图，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，
∴OE=(1)/(2)AB=3√(2)，
∴CE=OC+OE=3+3√(2)，
△ABC的面积=(1)/(2)CE•AB=(1)/(2)×（3+3√(2)）×6√(2)=9√(2)+18．
∴当点C在⊙O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，
△ABC的面积最大，最大值为9√(2)+18．

（3）①如图，过C点作CF⊥x轴于F，
∵OC∥AD，
∴∠COF=∠DAO，
又∵∠ADO=∠CFO=90°
∴Rt△OCF∽Rt△AOD，
∴(CF)/(OD)=(OC)/(OA)，即(CF)/(3)=(3)/(6)，解得CF=(3)/(2)，
在Rt△OCF中，OF=√(OC2−CF2)=(3√(3))/(2)，
∴C点坐标为（(3√(3))/(2)，(3)/(2)）；
故所求点C的坐标为（(3√(3))/(2)，(3)/(2)）．

②当C点坐标为（-(3√(3))/(2)，(3)/(2)）时，直线BC是⊙O的切线．理由如下：
在Rt△OCF中，OC=3，CF=(3)/(2)，
∴∠COF=30°，
∴∠OAD=30°，
∴∠BOC=60°，∠AOD=60°，
∵在△BOC和△AOD中

OC＝OD

∠BOC＝∠AOD

BO＝AO

，
∴△BOC≌△AOD（SAS），
∴∠BCO=∠ADO=90°，
∴OC⊥BC，
∴直线BC为⊙O的切线；
当C点坐标为（-(3√(3))/(2)，(3)/(2)）时，显然直线BC与⊙O相切．
综上可得：C点坐标为（(3√(3))/(2)，(3)/(2)）或（-(3√(3))/(2)，(3)/(2)）时，显然直线BC与⊙O相切．