设f（x，y）连续，且f（x，y）=xy+∫∫Df（u，v）dudv，其中D是由y=0，y=x2，x=1所围区域，则f（x，y）等于（）A．xyB．2xyC．xy+18D．xy+1
设f（x，y）连续，且f（x，y）=xy+f（u，v）dudv，其中D是由y=0，y=x2，x=1所围区域，则f（x，y）等于（ ）
A．xy
B．2xy
C．xy+
D．xy+1
答案和解析
【解法1】令
f(u，v)dudv＝A，则 f（x，y）=xy+A，所以
A=f(u，v)dudv=f(x，y)dxdy
=（xy+A）dxdy
=dx(xy+A)dy
=A+，
所以 由 A=A+ 可得，A=．
所以
f（x，y）=xy+．
故选：C．
【解法2】因为f（x，y）=xy+f（u，v）dudv，
等式两边在区域D上积分，则有
f(x，y)dxdy
=xydxdy+(f(u，v)dudv)dxdy
=xydxdy+dxdyf(u，v)dudv（∵f(u，v)dudv是一个常数）
=xydxdy+dxdyf(x，y)dxdy（∵积分值与积分变量无关）．
因为
xydxdy=dxxydy=x5dx=，
dxdy=dxdy=x2dx=，
所以
f(x，y)dxdy=+f(x，y)dxdy，
从而 f(x，y)dxdy=．
代入方程可得，
f（x，y）=xy+．
故选：C．
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