已知函数fx满足:对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2成立,x>0时,f(x)>21)求f（0）的值,并证明当x＜0时1＜f（x）＜2：2)判断f（x）的单调性并加以证明：3）若g（x）=│f（x）-k│在（-∞,0）上递

Question

已知函数fx满足:对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2成立,x>0时,f(x)>2
1)求f（0）的值,并证明当x＜0时1＜f（x）＜2：
2)判断f（x）的单调性并加以证明：
3）若g（x）=│f（x）-k│在（-∞,0）上递减,求实数k的取值范围.

Answer 1

(1)解析：∵函数f(x)满足对任意x,y∈R,都是有f(x+y)=f(x)f(y)-f(x)-f(y)+2成立
令x=y=0代入得f(0+0)=f(0)^2-2f(0)+2==>f(0)^2-3f(0)+2=0==>f(0)=1或2
令x=0==>f(0+y)=f(0)f(y)-f(0)-f(y)+2
若f(0)=1,则f(y)=1
∵x>0时,f(x)>2
∴f(0)=1与x>0时f(x)>2不符
故f(0)=2
当xf(x)f(-x)-f(x)-f(-x)=0f(-x)=f(x)/(f(x)-1)=2+1/[f(x)-1] >2∴01
∴f(x2)-f(x1)>0,f(x)在R上单调增.
(3)解析：令g(x)=|f(x)-k|=|f(x)-k|,在(-∞,0)上递减
∵f(x)-k在R是单调增
当x=0时,f(0)-k=2-k
令2-kk>=2
∴g（x）在(-∞,0)上递减,实数k的取值范围为k>=2