已知函数f（x）=loga（a2x+t）其中a>0且a≠1．（1）当a=2时，若f（x）<x无解，求t的范围；（2）若存在实数m，n（m<n），使得x∈[m，n]时，函数f（x）的值域都也为[m，n]，求t的范围．

Question

已知函数f（x）=log_a（a^2x+t）其中a>0且a≠1．
（1）当a=2时，若f（x）<x无解，求t的范围；
（2）若存在实数m，n（m<n），使得x∈[m，n]时，函数f（x）的值域都也为[m，n]，求t的范围．

Answer 1

（1）当a=2时，f（x）2（2^2x+t）2（2^x），
则2^2x+t<2^x无解，
令h=2^x，则h²+t2无正数解，
令g（h）=h-h²，则h>0时，g（h）≤(1)/(4)，
故t≥(1)/(4)；
（2）∵g（x）=log_a（a^2x+t）为增函数，且f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，
∴g（a）=a，g（b）=b
∴相当于方程g（x）=x有两不同实数根，
∴log_a（a^2x+t）=x，得a^x=a^2x+t即a^2x-a^x+t=0
令m=a^x，m>0
∴m²-m+t=0有两个不同的正数根，由韦达定理得，△=1-4t>0，t>0，1>0，
∴t∈（0，(1)/(4)）．