证明：设A,B均为n阶方阵,若|A+B|不为零,且AB=BA,则（A-B）(A+B)^*=(A+B)^*(A-B)帮帮大一学渣吧,百度出来的讲解有问题

Question

证明：设A,B均为n阶方阵,若|A+B|不为零,且AB=BA,则（A-B）(A+B)^*=(A+B)^*(A-B)
帮帮大一学渣吧,百度出来的讲解有问题

Answer 1

因为AB=BA,所以
(A+B)(A-B)=A^2-AB+BA-B^2=A^2-B^2
(A-B)(A+B)=A^2+AB-BA-B^2=A^2-B^2
也就是说(A+B)(A-B)=(A-B)(A+B)
那么(A+B)^*(A-B)(A+B) = (A+B)^*(A+B)(A-B) = d(A-B)
(A-B)(A+B)^*(A+B) = (A-B)d
其中d=n|A+B|
所以(A-B)(A+B)^*(A+B) = (A+B)^*(A-B)(A+B)
上式左右同时右乘(A+B)的逆,命题得证