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问一个积分证明题设f(x)在[0,a]上连续(a>0),证明:∫(0,a)dx∫(0,x)f(x)f(y)dy=(1/2)[∫(0,a)f(x)dx]^2积分符号后面括号里的是上下限
题目详情
问一个积分证明题
设f(x)在[0,a]上连续(a>0),证明:
∫(0,a)dx∫(0,x)f(x)f(y)dy=(1/2)[∫(0,a)f(x)dx]^2
积分符号后面括号里的是上下限
设f(x)在[0,a]上连续(a>0),证明:
∫(0,a)dx∫(0,x)f(x)f(y)dy=(1/2)[∫(0,a)f(x)dx]^2
积分符号后面括号里的是上下限
▼优质解答
答案和解析
证:
∫(0,a)dx∫(0,x)f(x)f(y)dy=∫∫(D)f(x)f(y)dxdy
D:0≤y≤x;0≤x≤a(可以在图上画出积分区域,有助解题思维)
又由此题中x,y的对称性可得:
∫∫(D)f(x)f(y)dxdy=∫∫(D')f(y)f(x)dydx
D':0≤x≤y;0≤y≤a
所以
∫∫(D)f(x)f(y)dxdy=1/2[∫∫(D)f(x)f(y)dxdy+∫∫(D')f(y)f(x)dydx]=(1/2)[∫∫(D'')f(y)f(x)dydx]
D''=D+D':0≤x≤a;0≤y≤a
所以
(1/2)[∫∫(D'')f(y)f(x)dydx]=(1/2)∫(0,a)dx∫(0,a)f(x)f(y)dy=(1/2)∫(0,a)f(x)dx*∫(0,a)f(y)dy=(1/2)[∫(0,a)f(x)dx]^2
即
∫(0,a)dx∫(0,x)f(x)f(y)dy=(1/2)[∫(0,a)f(x)dx]^2
得证
∫(0,a)dx∫(0,x)f(x)f(y)dy=∫∫(D)f(x)f(y)dxdy
D:0≤y≤x;0≤x≤a(可以在图上画出积分区域,有助解题思维)
又由此题中x,y的对称性可得:
∫∫(D)f(x)f(y)dxdy=∫∫(D')f(y)f(x)dydx
D':0≤x≤y;0≤y≤a
所以
∫∫(D)f(x)f(y)dxdy=1/2[∫∫(D)f(x)f(y)dxdy+∫∫(D')f(y)f(x)dydx]=(1/2)[∫∫(D'')f(y)f(x)dydx]
D''=D+D':0≤x≤a;0≤y≤a
所以
(1/2)[∫∫(D'')f(y)f(x)dydx]=(1/2)∫(0,a)dx∫(0,a)f(x)f(y)dy=(1/2)∫(0,a)f(x)dx*∫(0,a)f(y)dy=(1/2)[∫(0,a)f(x)dx]^2
即
∫(0,a)dx∫(0,x)f(x)f(y)dy=(1/2)[∫(0,a)f(x)dx]^2
得证
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